GEOMETRIA
EN LA EDAD MODERNA Y CONTEMPORANEA
La
Geometría en la Edad Moderna
Es en el Renacimiento cuando
las nuevas necesidades de representación del arte y de la técnica empujan a
ciertos humanistas a estudiar propiedades geométricas para obtener nuevos
instrumentos que les permitan representar la realidad. Aquí se enmarca la figura
del matemático y arquitecto Luca Pacioli, de Leonardo da Vinci, de Alberto
Durero, de Leone Battista Alberti, de Piero della Francesca, por citar sólo
algunos. Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la
necesidad de sentar las bases formales en la que se asiente las nuevas formas
de Geometría que ésta implica: la Geometría proyectiva, cuyos principios
fundamentales aparecen de la mano de Desargues en el siglo XVII. Esta nueva
geometría de Desargues fue estudiada ampliamante ya por Pascal o por de la
Hire, pero debido al interés suscitado por la Geometría Cartesiana y sus
métodos, no alcanzó tanta difusión como merecía hasta la llegada a principios
del siglo XIX de Gaspard Monge en primer lugar y sobre todo de Poncelet.
La
Geometría en la Edad Contemporánea
Gauss devuelve el carácter
geométrico que impregna parte del Análisis Matemático, fundamentalmente con dos
contribuciones: el nacimiento de la Variable Compleja y de la Geometría
Diferencial. Pero no son las únicas contribuciones de éste genio al campo de la
Geometría. En su adolescencia se vio dividido entre dedicarse a la Filología o
a la Matemática. A los 17 descubrió la manera de construir el polígono regular
de 17 lados, y la condición necesaria y suficiente para que un polígono regular
pueda construirse. Esto determinó su vocación. En su primera demostración del
Teorema Fundamental del Álgebra (de las cinco que realizó a lo largo de su
carrera) sentó las bases del Análisis de Variable Compleja, usando la
interpretación geométrica de los números complejos como vectores fijos del
plano (no en este lenguaje, que será introducido mucho más tarde). Por cierto,
se atribuye a Gauss la paternidad de esta idea. Primero Wessel y luego Argand
se le anticiparon, pero nadie conocía los estudios de ambos. Aunque no es
propiamente obra suya, pues la Variable Compleja está desarrollada
fundamentalmente por Cauchy, sí es el primero en abordarla seriamente, y sobre
todo le da una interpretación geométrica que marcará el desarrollo de esta
rama. Pero la principal contribución de Gauss a la Geometría es la creación de
la Geometría Diferencial, retomando las ideas que sobre las relaciones entre el
Análisis Matemático y la Geometría había hasta entonces y desarrollándolas
ampliamente.
Partiendo de la base de que
la Geometría estudia el espacio, las curvas y las superficies, establece la
noción fundamental de curvatura de una superficie. Gracias a ella, y a la
definición de geodésica, demuestra que si consideramos que una geodésica es una
curva con menor distancia entre dos puntos sobre una superficie (es decir, si
tenemos dos puntos sobre una superficie, el camino más corto entre esos dos
puntos sin salirnos de la superficie es un segmento de geodésica), concepto
totalmente análogo sobre la superficie al de recta en el plano, existen
superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas miden más de
la medida de dos ángulos rectos, y otras en las que mide menos. Esto,
esencialmente, es contradecir el V postulado de Euclides.
HISTORIA DEL ALGEBRA
Algebra comenzó en el
antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones
lineales (ax=b) y cuadráticas (ax2+bx=c), los matemáticos alejandrinos Heron y
Diofante continuaron con la tradición de Egipto y Babilonia, el libro las aritméticas
de diofante es más suficiente nivel.
La palabra árabe al-jabru
que significa “reducción” es el origen de la palabra algebra. En el siglo IX,
el matemático al-Jwrizm escribió uno de los primeros libros árabes del algebra.
A finales del siglo IX, el matemático Egipto Abul Kamil enuncio y demostró las
leyes fundamentales e identidades del algebra, y resolvió problemas tan
complicados como encontrar la x, y y z.
El matemático Italiano
Leonardo Fibonacci consiguió encontrar una aproximación cercana a la solución
de la ecuación cubica. A principios del siglo XVI los matemáticos italianos
Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cubica
general. Un avance importante fue en el siglo XVI de símbolos para las
incognitas y para las operaciones y potencias algebraicas.
HISTORIA DEL CÁLCULO
El termino cálculo viene del latín calculus que
significa piedra, hace referencia al resultado correspondiente a la acción de
calcular o contar. En cambio calcular, consiste en realizar las operaciones
necesarias para dar con el resultado de una acción previamente concebida, o
conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente
conocidos.
El
uso más común que se le da hoy en día a cálculo es el lógico-matemático, siendo
así, se puede decir que el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o
algoritmo, en el que podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos
datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados.
Los
antecedentes de procedimiento de cálculo, como algoritmo, se encuentran en los
que utilizaron los geómetras griegos, Eudoxo en particular, en el sentido de
llegar por aproximación de restos cada vez más pequeños, a una medida de
figuras curvas; así como Diofanto precursor del álgebra.
Se
considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la
antigüedad y, en general, de toda la historia. Usó el método exhaustivo para
calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie
infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi. También
definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las
superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy
largos.
La
consideración del cálculo como una forma de razonamiento abstracto aplicado en
todos los ámbitos del conocimiento se debe a Aristóteles, quien en sus escritos
lógicos fue el primero en formalizar y simbolizar los tipos de razonamientos
categóricos (silogismos). Este trabajo sería completado más tarde por los
estoicos, los megáricos, la Escolástica.
Los
algoritmos actuales del cálculo aritmético, utilizados universalmente, son
fruto de un largo proceso histórico. De vital importancia son las aportaciones
de Muhammad ibn al-Juarismi en el siglo IX;
En
el siglo XIII, Fibonacci introduce en Europa la representación de los números
arábigos del sistema decimal. Se introdujo el 0, ya de antiguo conocido en la
India y se construye definitivamente el sistema decimal de diez cifras con
valor posicional. La escritura antigua de números en Babilonia, en Egipto, en
Grecia o en Roma, hacía muy difícil un procedimiento mecánico de cálculo.
El
sistema decimal fue muy importante para el desarrollo de la contabilidad de los
comerciantes de la Baja Edad Media, en los inicios del capitalismo. El concepto
de función por tablas ya era practicado de antiguo pero adquirió especial
importancia en la Universidad de Oxford en el siglo XIV. La idea de un lenguaje
o algoritmo capaz de determinar todas las verdades, incluidas las de la fe,
aparecen en el intento de Raimundo Lulio en su Ars Magna
A
fin de lograr una operatividad mecánica se confeccionaban unas tablas a partir
de las cuales se podía generar un algoritmo prácticamente mecánico. Este
sistema de tablas ha perdurado en algunas operaciones durante siglos, como las
tablas de logaritmos, o las funciones trigonométricas; las tablas venían a ser
como la calculadora de hoy día; un instrumento imprescindible de cálculo. Las
amortizaciones de los créditos en los bancos, por ejemplo, se calculaban a
partir de tablas elementales hasta que se produjo la aplicación de la informática
en el tercer tercio del siglo XX.
A
finales de la Edad Media la discusión entre los partidarios del ábaco y los
partidarios del algoritmo se decantó claramente por estos últimos. De especial
importancia es la creación del sistema contable por partida doble recomendado
por Luca Pacioli fundamental para el progreso del capitalismo en el
Renacimiento.
AREA DE UN TRIANGULO
Herón
de Alejandría vivió hacia el siglo III a. de C. Herón se aleja de la formalización
deductiva, característica de la matemática clásica griega, y es un genio
eminentemente práctico. Su quehacer matemático es más próximo a la cultura
egipcia o babilónica y hay quien cuestiona, incluso, su origen griego. Sí
parece claro que es un seguidor de Arquímedes y lleva sus matemáticas a la
ingeniería y agrimensura. No sólo hizo descubrimientos en geometría y en
física, se le atribuye también la invención de una máquina de vapor. En física
uno de sus teoremas más interesantes es el que demuestra que cuando la luz
procedente de un objeto se refleja sobre espejos, la trayectoria
del rayo entre el objeto y el ojo es mínima. Este resultado parece
una simple consecuencia del principio filosófico de Aristóteles de que la naturaleza
procede siempre de la forma más sencilla o "económica".
Es más conocido en la historia de las
matemáticas por la fórmula que lleva su nombre y nos permite calcular el área
de un triángulo si conocemos sus tres lados:
a^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)
a^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)
Los lados son a, b y c. El semiperímetro
es p.
Los traductores árabes dicen que esta fórmula ya la conocía Arquímedes.
La demostración de Herón es del tipo geométrico usual y aparece en uno de
sus tratados, la Métrica , que es encontrado en
el año 1896. Ahora se puede obtener de una manera trigonométrica. Si bien
es cierto que en sus obras se encuentran algunas otras demostraciones, la
mayor parte de ellas se refieren a ejemplos numéricos de medida de longitudes,
áreas y volúmenes, apreciándose grandes semejanzas entre sus resultados y los
que conocemos de la antigua Mesopotamia.
Extraido
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